Question

一道老题关于求当x->0时变量1/x2 sin1/x是无界的但是不是无穷大量的一些问题

私对这道题的一些概念有些模糊，请高手指教首先是对于无界函数来说百度百科上给了个图片，说蓝色大的为无界函数，红色的为有界函数，但是我没太看出来这两个图想表达的区别，也就是说到底什么才算数无界函数什么才算是有界函数？其次是无穷大量，书上概念写着的是当x趋向于某一个值时函数极限为无穷，想请问，他这个无穷仅仅是正无穷而不包括负无穷吗？回归这道题正确解法如下图问题1 为什么它说sin1/x在正负1之间震荡结果说1/x乘以它就是无界呢？问题2 第一张图片说的有界函数和无界函数的区别是什么呢？问题3 无穷大量的无穷是正无穷还是负无穷？希望高手帮忙，概念不太理解，感激不尽

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Answer 1

sin1/x是可以取到0这个值的，所以整个的式子是可以取到0这个值的。x趋于0+时，1/x2是正无穷大，乘以一个有界数，如果它是正（负），整个式子肯定是正（负）无穷大。

如果集合A与集合B之间存在双射（一一对应），就认为它们的基数一样大；如果A与B的某个子集有双射，就认为A的基数不比B更大，也就是A到B有单射，B到A有满射；当A的基数不比B更大，且A、B基数不一样大时，就认为A比B基数小。

在ZFC集合论的框架下，任何集合都是良序的，从而两个集的基数总是大于、小于、等于中的一种，不会出现无法比较的情况。但若不包括选择公理，只有良序集的基数才能比较。

例如，可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为“阿列夫零”。比可数集合“大”的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同，为二的阿列夫零次方，被定义为“阿列夫壹”。

由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是，无穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”，它不能对应于一个基数，否则会产生康托尔悖论的一种形式。

Answer 2

好多文字，就随便说点儿了，有点儿任性，抱歉，等别人详细解答哈~原式是一个无穷大乘以有界变量，sin1/x是可以取到0这个值的，所以整个的式子是可以取到0这个值的。x趋于0+时，1/x2是正无穷大，乘以一个有界数，如果它是正（负），整个式子肯定是正（负）无穷大。这样，这个式子可以取正负无穷大和0。无穷大量是一直都是无穷大的，不可以是0，对吧~

追问

无穷大乘以0难道等于0吗？

追答

0是不是乘以任何数都等于0，无穷大它也是一个数啊~如果是一个数趋于0，再乘以无穷大就需要讨论谁变化更大了~

追问

那要是那样的话，有的极限形式为0乘无穷型，不能知道它到底等于多少，所以要用洛必达法则什么的，要是0乘以无穷等于0的话，那内种极限题不就等于0了 ，

追答

我的意思是取到0和趋于0是不一样的啊，sinx它实实在在可以取到0，不是趋于0，所以就是0，然而趋于0，确实取不到0，只是无限逼近0，所以要看情况啊。洛必达慎用，去看张宇的讲解，宇哥男神~~~