Question

求两个无穷小的极限时，怎么用等价无穷小来代替

满足什么条件就可以代替？ 为什么tan2x～2x，sin5x～5x,x的3次方+3x与它本身显然是等价的，为什么？谁能教教我？为什么 cosx-1与-1/2X的平方是等价无穷小 -1/2X的平方是怎么出来的
还是不会 能不能讲的详细点

Answer 1

高数 同济五版上面有的，写得很清晰，大致就是sinx～x这些简单的，直接用夹逼定理（当x趋近0时）就可得了。（夹逼定理证x→0时，sinx/x=1，这样就等价了）
tanx=sinx/cosx代一代也可得当x趋近0时tanx～x；cos一样也是代一下三角公式倍角半角那个（注：cos2x=1-2*sinx平方）
arcsin也是同理
（这些书上都是有例题的，另外还有些不是三角的等价书上也是有证明，你可以看下第一章函数与极限）
楼上说的这个。。。x的3次方应该是3x的高阶无穷小吧，当x趋近0时。。。

Answer 2

很多证明书上是有的，
不过说句实话，这些结论做题多了可以直接用，不用管证明，你问的有的都可以用洛比达（上下同时求导）来证明，就是把两个数相比，上下同时求导，就会得到1，另外3x是x3次方的高阶无穷小。
最后告诉你一个个人总结的结论：乘除法都可以用等价无穷小代替，加减只能用泰勒展开。希望你能明白！

Answer 3

泰勒展开。
利用o(x)/x趋近于0，当x趋近于0时。
查阅有关泰勒展开(Taylor Expension)的内容。其实等价无穷小代换只是一阶泰勒展开而已。

Answer 4

因为它们在定域内都是递增的

Answer 5

高等数学中，任何函数都可以展开成无穷幂级数
所以这些都是显然
你可以查看高数