Question

如图，还有三个选项为啥不能用洛必达

Answer 1

使用洛必达法则有三个条件。
如果函数f(x)与φ(x)满足以下三个条件：
(1). x→alimf(x)=0，x→alimφ(x)→0或x→alimf(x)=∞，x→alimφ(x)→∞;
其中a可以是某个常数，也可以是∞；
(2). 从某个时刻以后，f(x)、φ(x)可导，且φ'(x)≠0;
(3). x→alim[f '(x)/φ'(x)]=L.
则 x→alim[f (x)/φ(x)]=L.

我们用以上三个条件衡量上面A、C、D三个选项，看为什么不能用洛必达求极限。
A。x→0lim[x²sin(1/x)]/(sinx)
正确的作法：x→0lim[x²sin(1/x)]/(sinx)=x→0lim[x²sin(1/x)]/x=x→0limxsin(1/x)=0;
若用洛必达：
x→0lim[x²sin(1/x)]/(sinx)=x→0lim[(2xsin(1/x)-cos(1/x)]/cosx≠常量，即极限不存在，也就是不满足第三个条件，所以不能用。
C。x→∞lim[√(1+x²)]/x
正确做法：
x→+∞lim[√(1+x²)]/x=x→+∞lim√(1/x²+1)=1；
x→-∞lim[√(1+x²)]/x= x→-∞lim[√(1+x²)]/(-∣x∣)=x→-∞lim{-√[(1/x²)+1)]=-1；
若用洛必达：
x→∞lim[√(1+x²)]/x=x→∞lim[x/√(1+x²)]=x→∞lim[√(1+x²)]/x
=x→∞lim[x/√(1+x²)]=..........., 来回反复，解决不了问题。故不能用。
D。x→∞lim[(x+cosx)/x]
正确作法：x→∞lim[(x+cosx)/x]=x→∞lim[1+(cosx)/x=1;
若用洛必达：
x→∞lim[(x+cosx)/x]=x→∞lim(1-sinx)→极限不存在，即不满足第三个条件，所以不能用。
综上所述，A和D是不满足洛必达的第三个条件，C是用洛必达不能解决问题。

追问

我发现c选项里，如果化成（1/x）/（1/√1＋x²）后，就能用洛必达了，用洛必达是要求分子分母都趋近于0切各自的导数值存在才能用吗？