Question

大学数学问题

无限 西格玛 n=1
3n/(n^3 + Sin(n)^2）
求是否收敛

Answer 1

解：
楼下的都是猜想，这里给出严格的证明！
根据题意：
令u(n)=3n/[n³+sin(n²)]
原题就是：
判断 Σ(1,+∞) u(n)的敛散性
易知：
u(n) > 0，原级数为正项级数，则：
当m，n，p∈N，且m>n时：
|u(m+1)+u(m+2)+....+u(m+p)|
=u(m+1)+u(m+2)+....+u(m+p)
=3(m+1)/[(m+1)³+sin(m+1)²] + ....+3(m+p)/[(m+p)³+sin(m+p)²]
＜3(m+1)/[(m+1)³-1]+....+3(m+1)/[(m+p)³-1]
<3(m+1)/[(m+1)³-(m+1)]+3(m+2)/[(m+2)³-(m+2)]+...+3(m+p)/[(m+p)³+sin(m+p)²-(m+p)]
<3/[(m+1)²-1]+....+3/[(m+p)²-1]
=(3/2)×[(1/m)-1/(m+1+1)+.....+1/(m+p-1) - 1/(m+p+1)]

=(3/2)×[1/m+1/(m+1)-1/(m+p)-1/(m+p+1)]

＜(3/2)×[1/m+1/(m+1)]
＜(3/2)×(1/m+1/m)
=3/m
因此，对于∀ε=[3/n]，∃ m>n，对于∀p∈N，使得：
|u(m+1)+u(m+2)+....+u(m+p)| ＜3/m<ε成立，因此：
根据柯西审敛法，原级数收敛！
证毕！

Answer 2

是收敛的。
sin(n)^2是个干扰项，在n充分大的时候看成最大为1的项就可以了。
n充分大时，分母大于n^2*(n-1)，即Σ里面小于3n/[n^2*(n-1)]=3/[n(n-1)]=3/(n-1)-3/n
显然该项是收敛的。