高中数学，第一问求详解
设g(x)=f(x)-1/3x^3
当m=1时，
则g'(x)=1/(1+x)-1/2-x^2
=(2-x-1-2x^2(x+1))/2(x+1)
=(1-x(2x^2+2x+1))/2(x+1)
因为-1<x<=0
所以2(x+1)>0
(1-x(2x^2+2x+1))=1-x(x^2+(x+1)^2)
x^2+(x+1)^2>0 且有x<=0,所以1-x(x^2+(x+1)^2)≥1
故而g'(x)>0,是在定义域(-1,0]上的增函数，故g(x)=f(x)-1/3x^3<=g(0)=0
f(x)<=1/3x^3
若m=1/2,则f(x)=In(1+1/2x),容易得出有且只有一个零点
当m≠1/2时
f'(x)=m/(mx+1)+1/2-m=-(2m^2x-mx-1)/2(mx+1)
令f'(x)=0,求得x0=1/(2m^2-m)；
由于x的定义域为(-1/m,+∞)，当1/(2m^2-m)在其定义域时，f(x)在x0处有可能存在极值；
先考虑1/(2m^2-1)<=-1/m,即0<m<1/2；
此时f'(x)=-(m(2m-1)x-1)/2(mx+1),
m(2m-1)x-1为单调减函数，零点为1/(2m^2-m)，而x>-1/m>=1/(2m^2-m)
所以m(2m-1)x-1恒小于零，
f'(x)>0,即f(x)为(-1/m,+∞)的增函数
易得x->-1/m时，f(x)->-∞；x->+∞时，f(x)->+∞
此时f(x)也有且只有一个零点；
1/(2m^2-m)>-1/m,即m>1/2时，
由题设mx+1>0, 同理推断可得当x大于x0=1/(2m^2-m)时, f'(x)<0
x小于x0=1/(2m^2-m)时, f'(x)>0
故f(x)在x0处有最大值
f(x0)=In(2m/(2m-1))-1/2m
令2m=a>1
f(a)=In(1+1/(a-1))-1/a
令b=1/(a-1)
f(b)=In(1+b)-b/(1+b)
易得f'(b)=1/(1+b)-1/(1+b)^2
由于b>0 1+b>1
所以有f'(b)恒大于零,故f(b)为单调增函数，当b=0时有最小值
f(b=0)=0
由于b=1/(a-1)>0故恒有
f(b)=f(x0)>0,显然x->-1/m和x->+∞时，f(x)<0
所以此时f(x)有两个零点
总结：当m<=1/2时有一个零点，当m>1/2时有两个零点
