Question

微积分 求极限题目，要有过程

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Answer 1

　　解：第1题，属“0/0”型，用洛必达法则，原式=2lim(x→4)[(x-2)/(2x+1)]^(1/2)=(2/3)√2。　　第2题，分子有理化，再分子分母同除以x，∴原式=lim(x→∞)[(p+q)+pq/x]/{(1+p/x)(1+x/q)]^(1/2)+1}=(p+q)/2。
　　第3题，用无穷小量替换，∵x→0时，arcsinx~x，∴原式=2lim(x→0)3x/(3x)=2。
　　第4题，用无穷小量替换，∵x→∞时，1/x→0，sinx~x，∴原式=2lim(x→∞)(x^2+1)/[(3x+5)x]=2/3。
　　第5题，用无穷小量替换，∵x→0时，ln(1+x)~x，∴原式=e^{lim(n→∞)n[(1/2)ln(1+1/n^2)-ln(1+1/n)]=e^{lim(n→∞)n[1/(2n^2)-1/n)]=e^(-1)。
　　第6题，用无穷小量替换，∵x→0时，ln(1+x)~x、cosx~1-(1/2)x^2，
　　∴原式=e^{lim(x→0)(1/x^3)[ln(1+tanx)-ln(1+sinx)]=e^{lim(x→0)lim(x→0)(1/x^3)(tanx-sinx)。
　　而tanx-sinx=(secx)(sinx)(1-cosx)~(1/2)(secx)(sinx)x^2，∴原式=e^(1/2)。供参考。