Question

设函数f(x)具有二阶导数,g(x）=f（0）（1-x）+f（1）x,则在区间[0，1]上……

b选项如何排除

Answer 1

【详解1】如果对曲线在区间[a，b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点x1，x2及常数0≤λ≤1，恒有f（（1-λ）x1+λx2）≥（1-λ）f（x1）+λf（x2），则曲线是凸的．显然此题中x1=0，x2=1，λ=x，则（1-λ）f（x1）+λf（x2）=f（0）（1-x）+f（1）x=g（x），而f（（1-λ）x1+λx2）=f（x），故当f''（x）≤0时，曲线是凸的，即f（（1-λ）x1+λx2）≥（1-λ）f（x1）+λf（x2），也就是f（x）≥g（x），故应该选C【详解2】如果对曲线在区间[a，b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令F（x）=f（x）-g（x）=f（x）-f（0）（1-x）-f（1）x，则F（0）=F（1）=0，且F''（x）=f''（x），故当f''（x）≤0时，曲线是凸的，从而F（x）≥F（0）=F（1）=0，即F（x）=f（x）-g（x）≥0，也就是f（x）≥g（x），故应该选：C．