Question

帮忙求解一道三重积分的题目啦，谢啦！

原题：计算三重积分
，其中积分区域D是由yoz面上的曲线 y^2=2z 绕z轴旋转而成的曲面与平面z=5所围成的闭区域。谢谢啦！

Answer 1

先求旋转曲面的方程

设旋转曲面上一点是（x0,y0）,yoz面上的曲线 为y^2=2z ，则

√(x0^2+y0^2)=y

得旋转曲面的方程为：z=(x^2+y^2)/2

z=(x^2+y^2)/2=5得

Dxy:x^2+y^2≤10

所以

∫∫∫(x^2+y^2)dv
=∫∫dσxy∫((x^2+y^2)/2~5)x^2+y^2 dz
=∫∫(5-(x^2+y^2)/2)*(x^2+y^2) dσxy

化为极坐标计算

∫(0~2π)dθ∫(0~√10)r*(5-r^2/2)*r^2 dr
=2π*(125/3)
=250π/3