Question

数学问题:设x≥0,y≥0,x^2+(y^2/2)=1

1,设x≥0,y≥0,x^2+(y^2/2)=1,则x(√1+y^2)最大值________

2,当-1≤x≤0时,函数y=(2^x+2)-3.4^x的最大值________

3,函数y=2x+3(x≤0),y=x+3(0<x≤1),y=-x+5(x>1)的最大值___________

4,求函数f(x)=(e^x-a)^2+((e^-x)-a)^2(0<a<2)的最小值

5,已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,+∞)

(1)当a=1/2,求函数f(x)的最小值

(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围

最好解析一下

Answer 1

∵ x，y均为正整数，x^2+y^2/2=1，为一椭圆的第一象限部分。
∴ √x*x*(1+y*y)=√x^2(1+y^2)≤(x^2+1+y^2)/2=1/2+(x^2+y^2)/2
即求x^2+y^2的最大值。
令f(x)=x^2+y^2，很明显，f（x）是一个圆的第一象限部分。要求f（x）的最大值，就是要求他的半径的最大值。那麼，当该圆内切於x^2+y^2/2=1这个椭圆时，半径才能取得最大值。此时半径为＝1.f（x）＝x^2+y^2=1
∴ √x*x*(1+y*y)≤1/2+(x^2+y^2)/2≤1/2+1/2=1

设2^x=t， 则1/2<=t<=1
F(t)=4t-3t^2
=-3(t-2/3)^2+4/3
图象为抛物线，对称轴为2/3
所以当t=2/3，有最大值4/3，

y=2x+3是递增函数，当x=0时，有最大值=3
y=x+3是递增函数，当x=1时，有最大值=4
y=-x+5是递减函数，当x=1时，有最大值=4
综上，函数最大值=4

F(X)=(E^X-A)^2+(E^(-X)-A)^2
=(E^X）^2+(E^(-X)）^2-2A（E^X+E^(-X)）+2A^2
=(E^X+E^(-X))^2-2A（E^X+E^(-X)）+2A^2-2
=(E^X+E^(-X)-A)^2+A^2-2
E^X+E^(-X)>=2,0<A<2
所以E^X+E^(-X)=2,时F（X）最小，最小值是2A^2-4A+2

(1)a=1/2时，f(x)=x+2+1/2x=x+1/2x+2
任意的x1,x2,且x1>=1,x2>=1,x1>x2
则
f(x1)-f(x2)=x1-x2+a/x1-a/x2=(x1-x2)(1-a/(x1*x2))
因为x1>x2,x1-x2>0
因为x1>=1,x2>=1,a>=1/2,则a/(x1*x2)<1，则1-a/(x1*x2)>0
所以f(x1)-f(x2)>0,因而f（x)是单调递增的
当x=1时，有最小值=7/2
(2)任意x∈〖1，+∞），（x^2+2x+a）/x≥0均成立。
所以x²+2x+a≥0恒成立
(x+1)²≥1-a恒成立
所以x+1≥√（1-a）
或x+1≤-√（1-a）
x≥√（1-a） -1
或x≤-√（1-a） -1
其解集应为：x≥1
所以√（1-a） -1＜1
1-a＜4
a＜-3

Answer 2

1、x(√1+y^2)=√（1-y^2/2）(1+y^2)= √-[(y^2-1/2)^2-9/4]/2,y^2=1/2时，即y=√2/2，x=√3/2,时有极大值，为3√2/4，此时x=√3/2<1,x^2+(y^2/2)=1是椭圆方程，0≤x≤1,0≤y≤√2, y=√2/2，x=√3/2均在其范围内，故y=√2/2，x=√3/2,时x(√1+y^2)有最大值，为3√2/4。
2、y=4*2^x-3*(2^x)2,设u=2^x,y=4u-3u^2=-3[(u-2/3)^2-4/9],u=2/3时有极大值,2^x=2/3,2/3<2,0<x<1,在已知-1≤x≤0之外,x=log(2/3)/log2,而在至极值之前是增函数,由此可知其最大值就是x=0, 函数y=(2^x+2)-3.4^x的最大值=2^(0+2)-3*4^0=1.
3、函数y=2x+3(x≤0),y=x+3(0<x≤1),y=-x+5(x>1)的最大值,由方程可画出自变量x在不同区间的函数图像,x<=0时是增函数, 0<x≤1也是增函数,在x=1时是转折点,此后为减函数,故当x=1时有最大值,y(max)=4.这里用的是图像法,当然也可用解析法,没有此直观.
4、整理后得：y=2ch2x-4achx+2a^2,ch2x,chx 是双曲余弦函数，是偶函数，关于y轴对称，对于chx=[e^x+e^(-x)]/2有极小值，x=0,y=1,对整个函数可求导数，y'=4sh2x-4ashx,令其为0，2shxchx-ashx=0,shx=0,x=0,对其求二阶导数，8ch2x-4achx,x=0,a<2,8ch2x-4achx>0,曲线向上凹，故有极小值,x=0,
y(min)=2(1-a)^2,
chx=a/2,x=ln[a±√（a^2-4)]/2,因a<2,没有实际意义，驻点不考虑。
5、（1）f(x)=(x^2+2x+1/2)/x=x+1/(2x)+2,根据算术平均数大于等于几何平均数的不等式，x+1/(2x)≥2√x(1/2x), x+1/(2x)≥√2, √2是x+1/(2x)的最小值，x=√2/2,但不在已知区间内，x>√2/2函数是增函数，故x=1时有最小值，f(min)=7/2.
(2). 若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，(x^2+2x+a)/x>0, (x^2+2x+a)>0同时x>0,或(x^2+2x+a)<0同时x<0,联立二对不等式，但x实际大于0，不用考虑x<0的情况，(x^2+2x+a)>0，1≤x, x在[1,+∞)时为增函数，x^2+2x>=3,a>-3.