Question

一道高数 数列极限证明题

设数列{Xn}有界,又limYn=0,证明:limXnYn=0

Answer 1

因为数列{Xn}有界
所以不妨假设|Xn|<M(M>0)

因为数列{Yn}的极限是0
则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|<e/M

于是当n>N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|<M*e/M=e

由于e的任意性
所以数列{XnYn}的极限是0

Answer 2

设│Xn│<M(M为常数），则
-M<Xn<M,-MYn<XnYn<MYn,而lim（-MYn)=0,limMYn=0，故limXnYn=0

Answer 3

用极限定义就可以了