Question

这题怎么做 求思路

Answer 1

依题意，f(0)=0；因此要使f(x)在x=0时连续，必须x→0limf(x)=x→0lim[(x^a)sin(1/x)]=f(0)=0，因此要求a>0.
要使f(x)在x=0处可导，也就是要求f '(0)=∆x→0lim[f(0+∆x)-f(0)]/∆x
=∆x→0lim[f(∆x)/∆x]=∆x→0lim[(∆x)^a·sin(1/∆x)]/∆x
=∆x→0lim[(∆x)^(a-1)·sin(1/∆x)]存在，因此要求a-1>0，即a>1.
∵在∆x→0时，∣sin(1/∆x)∣≤1，即sin(1/∆x)是有界函数。要使
∆x→0lim[(∆x)^(a-1)·sin(1/∆x)]存在，就必须使∆x→0lim[(∆x)^(a-1)]=0
即a>1.因为只有无穷小量与有界变量的积才能是无穷小量。