Question

f（x）＝-1/3x³+1/2x²+2ax

若f（x）在（2/3，+∞）上存在单调增区间 求a的取值范围 .结果可不可以取等号

Answer 1

原题是:若f(x)＝(-1/3)x³+(1/2)x²+2ax在(2/3,+∞)上存在单调增区间,求a的取值范围 .(结果可不可以取等号?)
f'(x)=-x²+x+2a,其图象开口向下.
得f(x)在(2/3,+∞)上存在单调增区间的充要条件是:
方程-x²+x+2a=0有二个不相等的实根,且较大根大于2/3.
-x²+x+2a=0即x²-x-2a=0的较大根x2=(1+√(1+8a))/2, (1+8a>0)
有 (1+√(1+8a))/2>2/3 解得 a>-1/9
所以a的取值范围是(-1/9,+∞) (注:不能取等号)

希望能帮到你！

追问

为什么不能取等号

追答

取a=-1/9时,-x²+x+2a=0即x²-x+2/9=0的两根是1/3,2/3
f'(x)=-x²+x-2/9仅在(1/3,2/3)上为正
在(2/3,+∞)上无单调增区间.