Question

高等数学。第43题，求具体过程。

Answer 1

设f(x)=x·e^(2x)-2x-cosx，则

f'(x)=e^(2x)+2x·e^(2x)-2+sinx
=(1+2x)·e^(2x)-(2-sinx)

f''(x)=2e^(2x)+(2+4x)·e^(2x)+cosx
=(4+4x)·e^(2x)+cosx

(1)f'(0)=-1＜0
①x≤-1/2时，显然f'(x)＜0
②-1/2＜x＜0时，
(1+2x)·e^(2x)＜1·1=1
2-sinx＞2
∴f'(x)＜0
综上，x≤0时，f'(x)＜0
∴x≤0时，f(x)单调递减，
f(-1)=2-1/e-cos1=(1-1/e)+(1-cos1)＞0
f(0)=-1＜0
∴f(x)在(-∞，0]内仅有一个零点。

(2)x＞0时，
∵f'(0)=-1＜0，f'(1)=3·e²-2+sin1＞0
∴存在m∈(0，1)，使得f'(m)=0

显然f''(x)＞4+cosx＞0
∴f'(x)单调递增，

①0＜x＜m时，f'(x)＜0
此时，f(x)单调递减，
∵f(0)=-1＜0
∴此时，f(x)＜0
∴(0，m)内，f(x)无零点。

②x＞m时，f'(x)＞0
此时，f(x)单调递增，
∵f(m)＜0，f(π/2)=π/2·(e^π-2)＞0
∴(m，+∞)内，f(x)有一个零点。

综上所述，f(x)仅有两个零点。
【一个在(-1，0)内，
另一个在(0，π/2)内】