高等数学，谢谢
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根据对称性，
∫∫[∑]xdS=∫∫[∑]ydS=0
∫∫[∑]zdS=2∫∫[∑1]zdS
【其中，∑1是∑在yoz平面前方部分】
把∑1向yoz平面投影，
投影部分为矩形Dyz：
-R≤y≤R，0≤z≤H
∑1的方程为x=√(R²-y²)
x对y的偏导数为：xy=-y/√(R²-y²)
x对z的偏导数为：xz=0
所以，
原式=0+0+2∫∫[Dyz]z√(1+xy²+xz²)dydz
=2∫∫[Dyz]Rz/√(R²-y²)·dydz
=2R∫[-R~R]1/√(R²-y²)·dy·∫[0~H]zdz
=R·arcsin(y/R) |[-R~R] ·z² |[0~H]
=R·π·H²
=πRH²
∫∫[∑]xdS=∫∫[∑]ydS=0
∫∫[∑]zdS=2∫∫[∑1]zdS
【其中，∑1是∑在yoz平面前方部分】
把∑1向yoz平面投影，
投影部分为矩形Dyz：
-R≤y≤R，0≤z≤H
∑1的方程为x=√(R²-y²)
x对y的偏导数为：xy=-y/√(R²-y²)
x对z的偏导数为：xz=0
所以，
原式=0+0+2∫∫[Dyz]z√(1+xy²+xz²)dydz
=2∫∫[Dyz]Rz/√(R²-y²)·dydz
=2R∫[-R~R]1/√(R²-y²)·dy·∫[0~H]zdz
=R·arcsin(y/R) |[-R~R] ·z² |[0~H]
=R·π·H²
=πRH²
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