Question

一个连续函数的在某点的极限是不是就是该点的函数值

我在预习我们学院的高等数学教材
一开始我是这么认为的 因为如果取到该点的函数值，那么|f（x）-A|=|x-x0|= δ< ξ一定成立
但是书上居然有证明COSX在X0处的极限是COSX0这样的问题 而且它的证明过程很复杂
所以我又觉得不一定这么简单 但是后面有一个求(x^2-1)/(x^3-1)在X=1处的极限的问题，它在把X-1约去后又直接把X=1带进去了
所以我们大学在求连续函数的在某点的极限的时候是不是可以直接代该点的函数值呢
求大佬解答

Answer 1

连续就是改点极限存在且等于改点的函数值。改点函数值存在那么就是有定义

Answer 2

x→0
lim (1+ln(1+x))^(2/x)
=lim e^ln (1+ln(1+x))^(2/x)
根据复合函数的极限运算：lim(x→x0) f(g(x))=f(lim(x→x0) g(x))
=e^ lim ln (1+ln(1+x))^(2/x)
现在考虑
lim ln (1+ln(1+x))^(2/x)
=2*lim ln (1+ln(1+x)) / x
利用等价无穷小：ln(1+x)~x
=2*lim ln(1+x) / x
利用等价无穷小：ln(1+x)~x
=2*lim x/x
=2
故,原极限=e^2