Question

设f为定义在d上的有界函数,证明sup{-f(x)}=-inff(x)

Answer 1

f(x)>=inff(x),-f(x)<=-inff(x)，这个式子表示，－f(x)有上界（任意M>0,存在x属于D，使得f(x)<=M)，根据确界原理，－f(x)有上确界，－f(x)<=sup-f(x).由于inff（x)为一个确界，故题的证。

函数的有界性是数学术语。

设函数f(x)的定义域为D，f(x)在集合D上有定义。

如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

举例

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。例如：y=x+6在［1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如（－π／2，π／2)内则无界。

sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x），arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。

Answer 2

f(x)>=inff(x),-f(x)<=-inff(x)，这个式子表示，-f(x)有上界（任意M>0,存在x属于D，使得f(x)<=M)，根据确界原理，-f(x)有上确界，-f(x)<=sup-f(x).由于inff（x)为一个确界，故题的证。