Question

已知f(x)=ax+b/x²+1是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(1/2)=2/5 ①求f=(x)解析式

已知f(x)=ax+b/x²+1是定义在(-1，1)上的奇函数，且f(1/2)=2/5
①求f=(x)解析式
②判断f(x)在(-1，1)上的增减性，并证明
③解不等式f(t-1)+f(t)＜0

Answer 1

(1)
f(x)是奇函数，f(x)+f(-x)=0
[a(-x)+b]/[(-x)²+1]+(ax+b)/(x²+1)=0
(-ax+b)/(x²+1)+ (ax+b)/(x²+1)=0
b/(x²+1)=0
x²+1恒>0，因此只有b=0
f(x)=ax/(x²+1)
f(1/2)=2/5，½a/(½²+1)=2/5
a=1
f(x)的解析式为f(x)=x/(x²+1)，(-1<x<1)
(2)
f'(x)=[x'(x²+1)-x(x²+1)']/(x²+1)
=(1-x²)/(x²+1)
-1<x<1，x²<1，1-x²>0
x²≥0，x²+1≥1>0
f'(x)>0，函数f(x0在(-1，1)上单调递增
(3)
t-1、t都在定义域上，-1<t-1<1，-1<t<1
0<t<1
f(t-1)+f(t)＜0
f(t-1)<-f(t)
f(t-1)<f(-t)
函数在(-1，1)上单调递增，因此t-1<-t
2t<1
t<½
综上，得0<t<½
不等式的解集为(0，½)