Question

求大神回答写道高数题，谢谢🙏

Answer 1

先求收敛区间
设Un=x^n /n
Un+1=x^(n+1)/(n+1)
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim |x^(n+1)/(n+1)/x^n /n|
=lim |x|*n/(n+1)
=|x|＜1
所以收敛区间为(-1，1)
当x=-1时，S(x)=∑(-1)^2n/n=∑1/n为调和级数，发散
当x=1时，S(x)=∑(-1)^n/n，根据莱布尼茨公式，收敛
所以收敛域为(-1，1]
求和
S(x)=∑(-1)^n x^n/n
逐项求导得
S'(x)=∑(-1)^n x^(n-1)=-1+x-x²+x³-……
可知公比为-x，首项为-1的等比数列
S'(x)=-[1-(-x)^n]/(1+x)
因为x收敛区间为(-1，1)
n→∞时，(-x)^n=0
所以S'(x)=-1/(1+x)
再积分得
S(x)=-ln(1+x)，x∈(-1，1)