Question

学霸学霸求助数学

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Answer 1

1)证明f(x)是奇函数，也就是要证明f(-x)=-f(x)
具体地，f(-x)=-ax-1/x=-(ax+1/x)=-f(x),即：f(-x)=-f(x),故得证
2）若a=4,则f(x)=4x+1/x,下面根据递增的定义证明所述命题
设x2>x1>1/2,则：
f(x2)=4x2+1/x2,
f(x1)=4x1+1/x1,
那么，f(x2)-f(x1)=4(x2-x1)+(1/x2-1/x1)=4(x2-x1)+(x1-x2)/x1x2
=(x2-x1)(4-1/x1x2) (a)

因x2>x1>1/2，故x1x2>1/4,于是，1/x1x2<4;即：
4-1/x1x2>0 (b)
因x2>x1,故：x2-x1>0 (c)
综合（b)和（c),得(a)式>0,即：f(x2)-f(x1)>0,原命题得证
3）f(x)=4x+1/x,则f(2x-1)=4(2x-1)+1/(2x-1)>5
注意：下面要移项
将右项左移得：4(2x-1)+1/(2x-1)-5>0
合并、通分、化简：8x-9+1/(2x-1)>0
[ (8x-9)(2x-1)+1]/(2x-1)>0
(16x^2-8x-18x+9+1)/(2x-1)>0
(16x^2-26x+10)/(2x-1)>0
(8x^2-13x+5)/(2x-1)>0 (d)

注意：下面分式变整式
(d)式与(e)式相当：(8x^2-13x+5)*(2x-1)>0 (e)
分解因式得，(8x-5)(x-1)(2x-1)>0
(x-5/8)(x-1)(x-1/2)>0
排列整理得，

(x-1/2)(x-5/8)(x-1)>0 (f)
考查函数f(x)=(x-1/2)(x-5/8)(x-1)的大致图像，即可得(f)式的解为：
(1/2,5/8)，或(1,+无穷）
也即： 1/2<x<5/8, 或x>1
总结：

第3）问稍难，考查了分式不等式的基本解答技巧