Question

这道题求出y'之后怎么求y

Answer 1

求微分方程 y''=3√y满足初始条件y(0)=1，y'(0)=2的特解。
解：设y'=dy/dx=p，则y''=dy'/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy);
代入原式的 p(dp/dy)=3√y；分离变量得：pdp=3(√y)dy；
积分之得 (1/2)P²=3∫(√y)dy=2y^(3/2)+(1/2)c₁；
故P²=4y^(3/2)+c₁；∴p=√[4y^(3/2)+c₁]，∵p=y', ∴y'=dy/dx=√[4y^(3/2)+c₁];
代入初始条件：x=0时y=1，y'=2；故2=√(4+c₁)；∴c₁=0; 于是y'=dy/dx=2y^(3/4)
分离变量得2dx=y^(-3/4)dy;积分之得：2x=∫y^(-3/4)dy=4y^(1/4)+(1/2)c₂;
即x=2y^(1/4)+c₂；代入初始条件y(0)=1，得0=2+c₂，∴c₂=-2；
于是得 x+2=2y^(1/4)，即y=[(x/2)+1]^4.