Question

已知圆C1:x^2+y^2+2x+8y-8=0,圆C2:x^2+y^2-4x-4y-2=0试判断圆C1与圆C2的关系

已知圆C1:x^2+y^2+2x+8y-8=0,圆C2:x^2+y^2-4x-4y-2=0试判断圆C1与圆C2的关系
答案上直接联立两圆方程，得到二元一次方程，这个很好理解，不过如果是Δ=0或者Δ<0圆的位置关系怎么判断？究竟是相离还是内含？外切还是内切呢？

Answer 1

如果要了解这个问题的本质，就看看下面的东西：
（都是自己写的，不是网上抄的）

对于两个圆方程：
F(x,y)=(x-a)^2+(y-b)^2-p^2=0
G(x,y)=(x-m)^2+(y-n)^2-q^2=0
如果我们联立这两个方程，
通过F(x,y)-G(x,y)=0，我们就得到了一个二元一次方程，这其实是一条直线。
如果两个圆相交，那么显然，这条直线是一条通过这两个圆的交点的直线。
但如果两个圆相切或者相离呢？

为了弄清这个问题，我要引入两个概念：圆幂和根轴。

圆幂表述了一个点和一个圆之间的关系。
考虑一个点P和一个圆O。OP的距离为d，圆O的半径为R，
则定义P关于圆O的圆幂为d^2-R^2。
显然，如果P在圆外则圆幂>0，在圆内则圆幂<0，在圆上则圆幂=0。
更深入的：
过P作一条直线。
如果该直线与圆相切，切点为E，可以证明，PE^2=d^2-R^2。
如果该直线与圆相交，相交于A，B，可以证明：PA*PB=d^2-R^2。
注意：这里的PA和PB是有向线段。PA*PB=d^2-R^2的正负性说明了点与圆的关系。

下面来说说根轴。
根轴是关于两个圆的一条直线：
给定两个圆A和B，如果X关于A和B等幂（圆幂相等），那么X的轨迹就是这两个圆的根轴。
可以证明，两个圆的根轴是一条直线。且这条直线垂直于两圆的圆心的连线。
特殊的：
如果两个圆相交，根轴就是过这两个圆的交点的一条直线。（即公共弦所在直线）
如果两个相切，根轴就是过这两个圆的切点的公切线。
如果两个圆相离，则根轴在两圆之间，和两圆均相离。
如果两个圆内含，则根轴在和两圆都不相交，在大圆的外面。

最后我们来看看题目：
题目给了两个圆的方程，让我们来判断它们的关系。
F(x,y)=(x-a)^2+(y-b)^2-p^2=0
G(x,y)=(x-m)^2+(y-n)^2-q^2=0
首先要讨论这两个圆是否是同心圆，同心圆是不存在根轴的。
如果两圆不是同心圆，那么继续下面的步骤：
我们联立方程，得到一条直线：
L(x,y)=F(x,y)-G(x,y)=0。
那么这条直线上的任意一点p(x,y)满足F(x,y)-G(x,y)=0，
即：F(x,y)=G(x,y)=k，这里k是一个常数。
注意到，这里：
F(x,y)=(x-a)^2+(y-b)^2-p^2=d1^2-p^2
G(x,y)=(x-m)^2+(y-n)^2-q^2=d2^2-q^2
其中：
d1是p(x,y)到F(x,y)=0的圆心(a,b)的距离。
d2是p(x,y)到G(x,y)=0的圆心(m,n)的距离。
所以，由根轴的定义可以看出，L(x,y)=0上的所有的点关于圆F(x,y)=0和圆G(x,y)=0等幂。
也就是说，L(x,y)=0就是这两个圆的根轴。
现在我们可以通过求圆心到根轴的距离来判断两个圆的关系。
如果圆心到根轴的距离小于半径，说明这两个圆相交，这条根轴过两圆的交点。
如果圆心到根轴的距离大于半径，说明这两个圆不相交。
至于是相离还是内含，我们只要考虑L(a,b)和L(m,n)的正负即可。
如果正负性相同，说明(a,b)和(m,n)在L(x,y)=0的同一侧，两圆内含。
如果正负性不同，说明(a,b)和(m,n)在L(x,y)=0的两侧，两圆相离。
如果圆心到根轴的距离等于半径，说明这两个圆相切，这条根轴是过切点的公切线。
至于是外切还是内切，我们也只要考虑L(a,b)和L(m,n)的正负即可。
如果正负性相同，说明(a,b)和(m,n)在L(x,y)=0的同一侧，两圆内切。
如果正负性不同，说明(a,b)和(m,n)在L(x,y)=0的两侧，两圆外切。

Answer 2

直接联立两个方程这种方法一般是用来求过两圆交点的直线方程
而且前提是我们已经知道这两个圆是相交的 例如
给出两个圆的方程
(x-1)^2+(y-1)^2-1=0
(x+1)^2+(y+1)^2-1=0
这两个圆我们很显然知道它们是相离的
我们照样可以联立 得到一个方程 x+y=0
我们仔细观察这个方程不难发现 这条直线就是两个圆的对称轴
答案上所给出的方法应该是 得到这个方程然后再把这个直线方程和任意一个圆的方程联立 得到一个一元二次方程 再来判断根的判别式 这是属于判断直线和圆的位置关系里面的 不要跟圆和圆的位置关系的判定弄混
圆和圆的位置关系的判定 最直接也是最有效的方法就是 先把它们化为标准式 就可以看出两个圆的圆心 还有半径了 这样再求出两个圆心之间的距离和两个半径的和作比较就可以了
答案里面这种方法也可以 但是稍微有些麻烦 而且有一定得局限性
Δ>0还好说 是相交 但是如果是Δ=0或者Δ<0的时候就不好判断了