Question

幂级数和函数的定义域问题

幂级数和函数的定义域问题求解答

Answer 1

你的想法有道理，实际上，历史上，数学家就曾经用这种方法，而不管级数是否收敛。开始时数学家没有认识到收敛的重要。后来才认识到，级数只有在收敛时，才会等于一个函数。
就是先要收敛，才会有S(x)=x²arctan（x）+x，不收敛，是没有这个关系的。因为一个函数，除了个别点总是有值的（收敛）的，比如S(1)=1+arctan1;S(-1)=-1+arctan(-1);如果此时，级数不收敛，S(1),S(-1)就可能是无穷大，当然不可能与函数相等。
x=1，或者x=-1，等等，代入级数，一般会得到一个数列无穷项的和，就是判断数列前n项和，当n趋近于∞时，是否收敛的问题。一般用级数收敛的审敛法来判断。

追问

也就是说只要s(x)不是无穷大就代表在这点收敛是吗？

追答

趋近于一个常数。有振荡的情形，也无极限。如1,-1,1,-1,……

追问

谢谢啊
但是有个问题是我看到有些书籍上求幂级数和函数，它根据幂级数在某点收敛去判断它的和函数也在这点有定义。(不止一次)是书籍的问题吗?

追答

级数收敛，函数有定义，是对的。但是，不能反过来说，函数有定义，级数就收敛。一般，一个级数只在一定区间，收敛于一个函数。所有级数，注意看，后面都有一个适用的自变量的区间（范围），这点很重要。

级数适用区间，一般小于函数定义域。当然，有少数，与函数定义域一致。

追问

也就是说要同时考虑
先考虑幂级数收敛域然后再求出幂级数收敛区间内和函数的表达式，如果幂级数端点处也收敛就去验证和函数在这点是否也收敛如果收敛则定义域加入这点否则踢出
我理解的对吗？

追答

对。同一个函数，在不同的区间，常常需要用不同的幂级数表示。虽然原则上，任何函数，都可以用幂级数拟合，但一般，一个函数，要对应多个幂函数，分部适用于不同区间。

比如，-1<x<1，
1/（1-x）=1十x十x²十x³十……

1<x<3:
1/（1-x）
= 1/（1-x十2-2）
= 1/（-1-(x-2)）
=-1/[1-（2-x）]
=-1-（2-x）-（2-x）²-（2-x）³-……
等等。

追问

非常感谢您