Question

求详细过程!

求详细过程!△ABC的三边a,b,c的长度都是自然数,且a≤b≤c,a+b+c=17,则以a,b,c 为边的三角形共有几个?

Answer 1

解：   众所周知 ，三角形任一边都小于周长的一半，而最长边大于周长的三分之一，

本题中，a≤b≤ c,其中c为最长边， 所以有：

(a+b+c)/3≤ c≤(a+b+c)/2，

又 已知   a +b+c=17, 故 17/3≤ c≤ 17/2, 即 5.66≤ c≤ 8.5,

满足此条件的 c值(取自然数)可以是   6, 7, 8 。

当  c=6, 则 b+a=17-6=11, 考虑到a ≤ b , 则b可以取 6 ， a 可以相应地取 5，                       即组合值 5  6  6 ；（一个三角形）

当  c=7, 则 b+a=17-7=10,考虑到a ≤ b , 则b 可以取 7 或6、或 5， a 可以相应地取 3 或4、或5；即组合值   3  7  7； 4  6  7 ；5  5  7；（三个三角形）

当  c=8, 则 b+a=17-8=9，考虑到a ≤ b , 则b 可以取 8 或 6或5， a 可以相应地取1或3或4。

即组合值   1   8   8 ；   3  6  8 ； 4  5  8 。(三个三角形）

所以，  以a,b,c 为边的三角形共有1+3+3=7（个）。

答：以a,b,c 为边的三角形共有7个。

示意图如下（图中字母B和A/b和a的位置应当对调）

Answer 2

a≤b≤c,a+b+c=13,则:13/3<=c<=13/2.
所以有:
c=5,b=5,a=3
c=5,b=4,a=4
c=6,b=6,a=1
c=6,a=5,a=2
c=6,b=4,a=3
所以有5个

Answer 3

满足条件的三角形共有7个。
［解］
∵a≦b≦c，∴只要满足a＋b＞c，就有：a＋c＞b、b＋c＞a。
由a＋b＞c、a＋b＋c＝17，得：2（a＋b）＞17，又a、b都是自然数，∴a＋b≧8。
显然有：a＋b＋c≦3c，∴3c≧17，∴c≧6，∴－c≦－6，结合a＋b＋c＝17，得：
a＋b≦11。
由8≦a＋b≦11、a＋b＋c＝17、且a、b是非零自然数，得：
a、b、c可取的数组只能在以下数对中选取：
1、7、9；1、8、8；1、9、7；1、10、6；2、6、9；2、9、6；3、5、9；3、6、8；
3、7、7；3、8、6；4、4、9；4、5、8；4、6、7；4、7、5；5、5、7；5、6、6。
－－－－－
考虑到a≦b≦c，a、b、c只能选：
1、7、9；1、8、8；2、6、9；3、5、9；3、6、8；3、7、7；4、4、9；4、5、8；
4、6、7；5、5、7；5、6、6。
再考虑到a＋b＞c，a、b、c只能选：
1、8、8；3、6、8；3、7、7；4、5、8；4、6、7；5、5、7；5、6、6。
于是，满足条件的三角形共有7个。