Question

一道线性代数题

一道线性代数题如图，请问，这个第九题，为什么选D不选C，这里有点晕，到底向量组等价和矩阵等价有啥差别，谢谢

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Answer 1

矩阵等价和向量组等价完全是两个不一样的概念。向量组等价指的是可以互相线性表示，而矩阵等价只要求通过有限次初等变换可以互相转化。下面举个例子就很容易理解。

所以这里向量组等价条件实际上太强了，由线性无关根本是推不出向量组等价的。

这个例子中很明显这两个向量（组）是满足所有题设条件的（m取1即可），也是线性无关的。但是向量（组）A无法用B线性表示。
而D选项就很明显了，利用秩的概念很好解释。因为向量组和矩阵的秩的概念是类似的，就很好办了。线性无关说明秩都是m，那么矩阵一定是等秩的，也就是等价的，这也是一个结论就不详细证明了。
A选项的问题是类似的，都是用第二张图就可以说明

追答

其中D选项还涉及到整体线性无关局部一定线性无关的结论，这个也很好证明只需要反证就行，假设线性相关则加上后面的也线性相关，矛盾。

追问

那请问一下，如果两个向量组等价，那么这两个向量组的秩是相等的吧？这样可以吧

追答

是这样的，但是这和这道题目没有关系。向量组等价的确秩相等，但是秩相等并不一定等价。这里关键是要由秩相等推出等价，这个向量组是做不到的。反过来当然成立，等价这个条件很强当然可以推出秩相等

追问

对的，

谢谢

追答

这题答案是没有错的啊。C选项反例就是第二张图，这个的确比较不容易绕

Answer 2

我认为这道题目可能有错误。我看只有B选项是错误的，其余的应该都是正确的。向量组等价意味着它们的秩相同，因此C选项是正确的。而矩阵等价这个概念，在这里应该是与向量组等价一致的。而A选项，a向量组可以被b表出，则说明b的秩大于a的秩，因为秩(a)=m，就等于向量的个数，所以向量组b线性无关。

追答

两个矩阵等价它们的秩是相同的，因此我说这里矩阵等价与向量组等价是一致的。因为向量组a的秩为m，则b的秩也为m，那么b就是线性无关的啊。