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解,根据题意
f(x)=f(-x) [偶函数]
f(x)=f(2-x) [本意是对称性,但是我们马上发现...]
f(x)=f(-(2-x))=f(x-2)
所以f(x)是一个T=2的周期函数
今知道[0,1]上f(x)=x²
所以f(x)的图像是...下图
然后我们在同一张图里找到(0,-9/4)的点
接着,拿起你的尺子,绕着(0,-9/4)转圈!看看什么时候有3个交点即可!
显然,粉色线是斜率最大的点,注意是开区间(正好过(3,1)时,只有2个交点,矮于这个点才会在[2,3][3,4]区间内各找到一个交点)
红色线是斜率最小的点,注意也是开区间(与[2,3]相切时只剩2个交点!)
kmax时,直线过(3,1)
k=(0+9/4)/(3-1)=3/2
kmin时,直线与[2,3]区间内二次函数相切
顶点(2,0),过(3,1)的二次函数就是
y=a(x-2)²+0
a=1
所以y=x²-4x+4
过(0,-9/4)的直线就是y=kx-9/4
代入
x²-(4+k)x+25/4=0
Δ=0 k>0可知
16+8k+k²-25=0
k²+8k-9=0
k=1或者k=-9(舍弃)
因而kmin=1
综上所述,k取值范围是(1, 3/2)
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