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这类微分方程都具有dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy的形式,且满足P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数的特点。解答过程如下:
先由P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数,得出dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy是一个全微分方程的结论。接着得出通解是z=从(0,0)到(x,y)第二型曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
接下来,根据该积分与积分路径无关(因为P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数),可以选择从点(0,0)到点(x,y)的特殊路径积分,而最常选取的是沿折线路径积分,即先从(0,0)到(0,y)、再从(0,y)到(x,y)的折线或者是先从(0,0)到(x,0)、再从(x,0)到(x,y)的折线。最后z=积分结果 就是通解。
例如:阁下这个题,假如选择(0,0)到(x,0)、再从(x,0)到(x,y)的折线积分,则通解是z=(0,0)到(x,0)积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy + (x,0)到(x,y)积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
在第一个积分里,y(=0)是常数,所以dy=0,结果成为定积分(从0到x)(x^2 +2x*0-0^2)dx=1/3 * x^3 +C1.
在第二个积分里,x一直没变是常数,所以dx=0,结果成为定积分(从0到y)(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C2.
于是,通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C.
先由P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数,得出dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy是一个全微分方程的结论。接着得出通解是z=从(0,0)到(x,y)第二型曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
接下来,根据该积分与积分路径无关(因为P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数),可以选择从点(0,0)到点(x,y)的特殊路径积分,而最常选取的是沿折线路径积分,即先从(0,0)到(0,y)、再从(0,y)到(x,y)的折线或者是先从(0,0)到(x,0)、再从(x,0)到(x,y)的折线。最后z=积分结果 就是通解。
例如:阁下这个题,假如选择(0,0)到(x,0)、再从(x,0)到(x,y)的折线积分,则通解是z=(0,0)到(x,0)积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy + (x,0)到(x,y)积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
在第一个积分里,y(=0)是常数,所以dy=0,结果成为定积分(从0到x)(x^2 +2x*0-0^2)dx=1/3 * x^3 +C1.
在第二个积分里,x一直没变是常数,所以dx=0,结果成为定积分(从0到y)(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C2.
于是,通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C.
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