Question

无条件极值

无条件极值如图，可以帮忙将例二法一中，我用铅笔画出来的部分解释一下是如何得到的吗？

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Answer 1

既然整个分数的极限为1，那么自然分母分子的极限相同，分母的极限是0，那么分子也必须是0，也就是lim f(x,y)-xy=0, 注意到xy极限为0，所以lim f(x,y)=0， 既然f在极限取值点连续，那么极限点可取，所以f(0,0)=0=lim f(x,y)
然后沿y=-x取极限，再一次，分数极限为1，上下极限相同，即limf(x,-x)+x^2=lim4x^4， 换下位置就是limf(x,-x)=lim4x^4-x^2， 所以在半径足够小的以0为中心的去心邻域中，f(x,-x)近似于4x^4-x^2。要注意我们是不会取到f（0，0）=0的，所以当x足够靠近0的时候，比如可以让0<x<1/2，那么4x^4-x^2=x^2(4x^2-1)<0因为4x^2<4(1/2)^2=1
沿y=0同理，这就留给你了。
ps：答案这种约等于/近似于这种用法其实是不严谨的，应该说f（x,-x）与4x^4-x^2间距离少于任意给定值

追问

追答

你的导数那里到底写的是大于0还是等于0？
保号性指的是如果极限为正／负，那么有限多个项可以不为正／负

追问

等于

追答

那么你说的保号性不是极限的保号性。因为极限存在为0，所以左右极限相等，(x-a)^2>0不用管，但是x-a的左右极限符号相反，所以f(x)-f(a)的左右极限必须是与x-a的左右极限相反符号，或者相同符号。无论哪种情况我们得到导数是单调的，因为f'(a)=0,所以，导数要么先负后正或者先正后负，也即是f(a)要么是区间的极大值，要么极小。除非题目前面有说明f（x）逼近f（a）的情况，否则根本不能判断

追问

谢谢

Answer 2

高等数学的有关问题
在这个平台很难得到
准确的答案的。