Question

二元函数的某一点具有任意方向的方向导数到底能不能推出函数在该点连续？

二元函数的某一点具有任意方向的方向导数到底能不能推出函数在该点连续？这两个哪个是对的，我个人觉得是可以推出连续的，不过这两个论文的结论相反……

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Answer 1

第一个是对的，二元函数的某一点具有任意方向的方向导数不能推出函数在该点连续。
第一个论文讲的是对的，令y=kx^(1/3)，可以知道这个时候x趋于0时极限与k有关，得到函数在零点处的极限不存在，于是不连续。
第二个论文倒数第二段有问题，函数沿任意直线均连续不能推出后面的连续定义。此步骤没有根据。

Answer 2

二元函数在某点处有各个方向导数并不能推出在该点处连续。

举例：f(x,y)=|y|*sqrt(x^2+y^2)/x,(x≠0)

f(x,y)=0,(x=0)
这个函数在(0,0)处有各个方向导数，但是很不幸在原点处并不连续。
（在这里似乎打不了LaTeX码？凑合看吧，希望有所帮助）

Answer 3

导数存在一定连续；连续不一定导数存在。连续是导数存在的必要条件，但是不是充分条件。

Answer 4

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