Question

大一高数题，求助大神！！！感谢！！！

d²f/dx²+d²f/dy²=cos (x²+y²),求二重积分xdf/dx+ydf/dy，积分区域为x²+y²≤1

Answer 1

(x∂f/∂x+y∂f/∂y)几何意义,是位置向量(x,y)与梯度(∂f/∂x, ∂f/∂y)这两个向量的内积.
∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²是拉普拉斯(laplace)算符,看起来奇怪,还有个名字更加奇怪了,其实就是梯度的梯度,梯度就是增长最快的方向,其实就是个向量,不要想复杂了,那就窘了.
∫∫(x∂f/∂x+y∂f/∂y)dxdy其实就是求和,有多少个东西要被加起来?有一个单位圆面那么多的元素啊.那我就一个圆,一个圆加,从半径是1的一直到半径是0的可以吧.
对于半径为r的小圆周,(x,y)向量与圆周垂直,所以∫(x∂f/∂x+y∂f/∂y)本质就是∫,沿着半径r的圆周积分.表示两个向量的内积,一个是法向量n=(x,y),另一个是梯度向量F=(∂f/∂x,∂f/∂y)
由gauss散度定理,对于任何向量函数G,∫=∫∫梯度算符内积作用在G,而梯度作用两次的结果恰好是laplace算符,所以∫＝∫∫(∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²)dxdy=∫∫cos(x²+y²)dxdy,然后对每个半径r的小圆周,你把所有的结果加起来,就是∫∫∫rcos^(x²+y²)dxdydr,就是∫∫∫rcosr²drdxdy,就是∫∫ [∫rcos(-r²)dr] dxdy, 其中[∫rcos-r²dr]=[(1/2)∫cosr²dr²]=(1/2)[∫costdt](从0到1)

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其实我没看懂🌚但是很感谢

其实我没看懂🌚但是很感谢

Answer 2

13题：分子变为(x-2)(x-3) 分母为 （x-2) (x-2) 第二题：分子变为3x 分母：为x

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？？？？什么？？？

？？？？什么？？？

Answer 3

你确定的写得没错？你把题目拍成图片传上来

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这是考试题，我记得应该没错吧。。。

这是考试题，我记得应该没错吧。。。