高数解微分方程
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可以用拉普拉斯变换，但经过考虑，我还是不写了
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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求微分方程 y''-4y'+4y=e^(2x)的通解
解：齐次方程 y''-4y'+4y=0 的特征方程 r²-4r+4=(r-2)²=0的根(重根)r=2;
故齐次方程的通解为：y=e^(2x)(c₁+c₂x);
因为e^(2x)中的指数有2，是特征方程的根，因此要设特解：y*=ax²e^(2x).......①
于是，y'=2axe^(2x)+2ax²e^(2x)=2a(x+x²)e^(2x)............②
y''=2a(1+2x)e^(2x)+4a(x+x²)e^(2x)=2a(1+4x+2x²)e^(2x)..........③
将①②③代入原式得：
2a(1+4x+2x²)e^(2x)-8a(x+x²)e^(2x)+4ax²e^(2x)=e^(2x)
整理化简得2a=1，故a=1/2；
即特解为：y*=(1/2)x²e^(2x);
故通解为：y=[c₁+c₂x+(1/2)x²]e^(2x).
解：齐次方程 y''-4y'+4y=0 的特征方程 r²-4r+4=(r-2)²=0的根(重根)r=2;
故齐次方程的通解为：y=e^(2x)(c₁+c₂x);
因为e^(2x)中的指数有2，是特征方程的根，因此要设特解：y*=ax²e^(2x).......①
于是，y'=2axe^(2x)+2ax²e^(2x)=2a(x+x²)e^(2x)............②
y''=2a(1+2x)e^(2x)+4a(x+x²)e^(2x)=2a(1+4x+2x²)e^(2x)..........③
将①②③代入原式得：
2a(1+4x+2x²)e^(2x)-8a(x+x²)e^(2x)+4ax²e^(2x)=e^(2x)
整理化简得2a=1，故a=1/2；
即特解为：y*=(1/2)x²e^(2x);
故通解为：y=[c₁+c₂x+(1/2)x²]e^(2x).
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特征方程 r^2 - 4r + 4 = 0, 特征根 r = 2， 2.
设特解 y = Ax^2e^(2x), 则 y' = 2A(x^2+x)e^(2x),
y'' = 2A(2x^2+4x+1)e^(2x), 代入微分方程得 A = 1/2,
微分方程的通解是 y = [C1 + C2x + (1/2)x^2] e^(2x)
设特解 y = Ax^2e^(2x), 则 y' = 2A(x^2+x)e^(2x),
y'' = 2A(2x^2+4x+1)e^(2x), 代入微分方程得 A = 1/2,
微分方程的通解是 y = [C1 + C2x + (1/2)x^2] e^(2x)
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