Question

证明级数∑(n=1,∞) (-1)^(n-1)[2+(-1)^n]/(n^2)的收敛性，若是收敛，是绝对收敛还是条件收敛。

如题，过程条理详细点

Answer 1

其对应的正项级数
∑(n=1,∞) [2+(-1)^n]/(n^2) < ∑(n=1,∞) 3/(n^2) = 3∑(n=1,∞) 1/(n^2)
3∑(n=1,∞) 1/(n^2) 收敛， 则 ∑(n=1,∞) [2+(-1)^n]/(n^2) 收敛，
∑(n=1,∞) (-1)^(n-1)[2+(-1)^n]/(n^2) 必收敛， 即绝对收敛。

Answer 2

|un|<3/n^2，而∑3/n^2 收敛，
所以原级数绝对收敛。

追问

你好，为什么un取绝对值之后，里面的-1怎么也变成正的了，成3了。有什么定理没，还有这个既然收敛的话，那收敛半径怎么求啊。

追答

三角不等式：对任意实数 a、b，有 |a+b| ≤ |a|+|b| 。（前面那个也就是 ≤ ）
收敛半径是指含 x 的级数。你这个是数项级数，只有 收敛、发散 两个状态。

追问

我看错了，这个题收敛半径怎么求啊 最后一个问题了，谢谢哈

追答

R=3

追问

能贴下具体的步骤吗，我是知道答案的。主要是里面又有一个-1，谢谢了

追答

3+(-1)^n 是有界量，就当它是 4 吧，然后用后项比前项，取极限得 |x/3|<1，所以 |x|<3，R=3

追问

你的意思是不是我以后碰到这种内部加减1的，就直接忽略那一项 是这样吗

追答

大部分是这样。