Question

在抛物线y=x²上哪一点的切线与过点A(1，1)、B(2，4)的直线平行？

Answer 1

解： (1) 由已知得： a2＝4，a＝2 b2＝1，b＝1 ∴c＝√(a2－b2)＝√3 ∴椭圆G的焦点坐标为(－√3，0)(√3，0) 离心率e＝c/a＝√3/2 (2) 由题意知： |m|≥1 当m＝1时，切线l的方程为x＝1 点A，B的坐标分别为(1，√3/2)，(1，－√3/2) 此时，|AB|＝√3 当m＝－1时，同理可得|AB|＝√3 当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m) 由： {y＝k(x－m) {(x2/4)＋y2＝1 得： (1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) 则由韦达定理，得： x1＋x2＝8k2m/(1＋4k2) x1?x2＝(4k2m2－4)/(1＋4k2) 又l与圆x2＋y2＝1相切，得： |km|/√(k2＋1)＝1 即m2k2＝k2＋1 ∴|AB|＝√[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] ＝√(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝√(1＋k2)[ [64k?m2/(1＋4k2)2]－[4(4k2m2－4)/(1＋4k2)] ] ＝(4√3|m|)/(m2＋3) 由于当m＝±1时，|AB|＝√3 ∴|AB|＝(4√3|m|)/(m2＋3)，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞) ∵|AB|＝(4√3|m|)/(m2＋3)＝4√3/[ |m|＋(3/|m|) ] ≤2 且当m＝±√3时，|AB|＝2 ∴|AB|的最大值为2

Answer 2

解如图。

Answer 3

石荣本是济南武孝廉，父母与妻皆亡故，家业凋零，赴京铨叙途中暴病，幸得中年妇人胡氏以红丸救治，转危为安。石荣感激，愿娶胡氏为妻，并对天盟誓，绝不再娶。在胡氏佐助下，石荣顺利赴京，官运亨通，但却一去不回。原来他贪求富贵，已娶名门王氏。