Question

如图，在梯形ABCD中,AD平行BC,角B=90度,AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm

已知:梯形ABCD中，AD//BC，角B=90度，AB=14CM，AD=18CM，BC=21CM，点P从点A开始沿AD边向点D以1CM/S的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以9CM/S的速度移动，若有一点运动端点时，另一点也随之停止。如果P.Q分别从A.C同时出发，能否有四边形PQCD成等腰梯形？如果存在，求经过几秒后；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

∵∠B=90度，所以∠A=90度（AD//BC）。
过D作BC的垂线，并以这条垂线为对称轴作DC的对称线交BC于K，则△DCK是等腰三角形。
若梯形PQCD是等腰梯形，则一定有PQ//DK，这时CQ=DP+CK，
易得到CK=(BC-AD)*2=(21-18)*2=6。
设t秒后，PQCD是等腰梯形，则有DP=AD-t，CQ=9t，代入以上等式，得9t=AD-t+6，
解得 t=2.4，
即t=2.4时，PQCD是等腰梯形。

Answer 2

假设经过t秒后，存在满足条件的等腰梯形PQCD，根据题设条件，此时在梯形PQCD中，PD//CQ,PQ=CD；分别过P、D点做BC的垂直线，分别交BC与E,F，则有PE=DF=AB=14，CF=3,PD=18-t,QE=CQ-EF-CF=9t-(18-t)-3=10t-21;
根据勾股定理:
PQ^2=PE^2+QE^2,
CD^2=DF^2+CE^2,
因为PQ=CD，所以PE^2+QE^2=DF^2+CE^2，将数值带入，求得t=2.4或1.8，
当t=2.4时，Q点运动距离为9×2.4=21.6，已经超出BC的范围，不满足要求，舍掉，当t=1.8时，满足要求。
因此，经过1.8秒后，存在满足要求的等腰梯形PQCD

Answer 3

过P点做BC的垂线交BC于F，过D点作BC的垂线交BC于E。
则PDEF为矩形，所以PD=EF=AD-AP=18-t(P点移动速度为1cm/s，所以经过t秒移动距离为tcm)。
因为梯形PQCD为等腰梯形，所以PQ=CD,角PQC=角C,角PFQ=角DEC=90度，所以三角形PQF全等于三角形DCE。所以CE=QF。
又因为DE垂直于BC，AB垂直于BC，所以ABED为矩形，所以AD=BE。所以CE=BC-BE=21-18=3。
所以CQ=CE+EF+QF=3+(18-t)+3=2t(Q点移动速度为2cm/s，经过t秒移动距离为2tcm)。
解方程得t=8。
及经过8秒后PQCD成等腰梯形。

Answer 4

∵∠B=90度，所以∠A=90度（AD//BC）。
过D作BC的垂线，并以这条垂线为对称轴作DC的对称线交BC于K，则△DCK是等腰三角形。
若梯形PQCD是等腰梯形，则一定有PQ//DK，这时CQ=DP+CK，
易得到CK=(BC-AD)*2=(21-18)*2=6。
设t秒后，PQCD是等腰梯形，则有DP=AD-t，CQ=9t，代入以上等式，得9t=AD-t+6，
解得 t=2.4，
即t=2.4时，PQCD是等腰梯形。