Question

广义积分求敛散性问题

求问一道求广义积分敛散性的题，主要是不知道这个积分怎么求。麻烦大神帮解答一下！！谢谢！！！

Answer 1

分享一种解法，借用“贝塔函数B(a,b)=∫(0,1)[x^(a-1)](1-x)^(b-1)dx，a>0、b>0时收敛”的性质求解。
设t=x³，∴原式=(1/3)∫(0,1)[x^(-2/3)](1-x)^(-1/5)dx=(1/3)∫(0,1)[x^(1/3-1)](1-x)^(4/5-1)dx=(1/3)B(4/5,1/3)。
满足贝塔函数收敛的条件，∴积分收敛。
供参考。

追问

这样也行吧。但请问您会解这个定积分吗？

追答

事实上，“原式=(1/3)B(4/5,1/3)”已经解决了。这是“精确”表达式，若要具体的数值，则要利用它与伽马函数的关系，查表可得。