Question

怎么用直角坐标三重积分推导球的体积公式？

直角坐标，极坐标比较简单

Answer 1

设球方程是 x^2 + y^2 + z^2 = R^3, 由对称性，得
V = 8∫<0, R>dx∫<0, √(R^2-x^2)>dy∫<0, √(R^2-x^2-y^2)>dz
= 8∫<0, R>dx∫<0, √(R^2-x^2)>√(R^2-x^2-y^2)dy
记 a^2 = R^2-x^2, 代公式 ∫√(a^2-y^2)dy = (y/2)√(a^2-y^2)+(a^2/2)arcsin(y/a)
V = 8∫<0, R>dx[(y/2)√(a^2-y^2)+(a^2/2)arcsin(y/a)]<0, √(R^2-x^2)>
= 8∫<0, R>dx[(y/2)√(R^2-x^2-y^2)+(1/2)(R^2-x^2)arcsin(y/√(R^2-x^2))]<0, √(R^2-x^2)>
= 8∫<0, R>dx[0+(1/2)(R^2-x^2)(π/2)]
= 2π∫<0, R>(R^2-x^2)dx = 2π[R^2 x - x^3/3]<0, R> = (4π/3)R^3

Answer 2

这个主要看积分区域（图形），通常情况如下：
1.
图形可以映射到某一个坐标面为圆或者部分圆，建议用柱坐标。
2.
图形为球体的一部分，建议用球坐标。
3.
图形不规律，也不满足1和2两点，建议用直角坐标。
个人经验，望采纳。

Answer 3

莫名的忧伤。
唉，这些年太堕落了，这些都忘了。

追问

用直角坐标推导是有点麻烦的，莫忧桑(┯_┯)

Answer 4

你可以下载百度文库App，直接用你的百度知道帐号登录搜索你提的问题，上面有详细的解答且图文并茂，希望能给你帮助

追问

谢谢你，一点忙也不帮！