Question

高数问题，求详细解答

详细点

Answer 1

求微分方程 y''-5y'+6y=e^(-2x)的通解
解：齐次方程 y''-5y'+6y=0的特征方程 r²-5r+6=(r-2)(r-3)=0的根 r₁=2，r₂=3；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(2x)+c₂e^(3x);
可设特解 y*=ae^(-2x)，则y*'=-2ae^(-2x)；y*''=4ae^(-2x)；
代入原式并消去e^(-2x)得： 4a+10a+6a=20a=1，故a=1/20；
于是得特解：y*=(1/20)e^(-2x)；
故原方程的通解为：y=c₁e^(2x)+c₂e^(3x)+(1/20)e^(-2x)；

Answer 2

特征方程r²-5r+6=0，特征根-2，-3，齐次通解：
y=Ce^(-2x)+De^(-3x)
变常数求特解。后面没有-3x次方，设D=0
y'=C'e^(-2x)-2Ce^(-2x)
y''=C''e^(-2x)-4C'e^(-2x)+4Ce^(-2x)
代入：
C''e^(-2x)-4C'e^(-2x)+4Ce^(-2x)-5[C'e^(-2x)-2Ce^(-2x)]+6[Ce^(-2x)]=e^(-2x)
C''-4C'+4C-5[C'-2C]+6C=1
C''-4C'+4C-5C'+10C+6C=1
C''-9C'+20C=1
C=1/20
C'=0,C''=0
y=(C+1/20)e^(-2x)+De^(-3x)
1/20可以看成是C的另一个值。

追答

特征根应该是2,3

Answer 3

特征方程k^2-6k+5=0，特征根求出为3和2，得出通解y=C1*e^2x+C2e^(3x)，
设特解y=A*e^(-2x)，然后带入原方程