Question

求证圆外切正六边形、圆、内接正六边形的周长关系，要证明过程

Answer 1

可以先证明这个结论：已知圆内任意两点a和b,在其劣弧上任取一点c,当c使得ac=bc时，l=ac+bc最长。
证明：
连接oa,ob,oc,记角aoc=x1,角boc=x2;
l=r[sin(x1/2)+sin(x2/2)],r为圆半径。
所以l=2rsin[(x1+x2)/4]cos[(x1-x2)/4]<=2rsin(x/4),当且仅当cos[(x1-x2)/4]=1时成立，因为x=x1+x2=恒值，即x1=x2时，lmax=2rsin(x/4).x1=x2,也就是说ac=bc时，l=ac+bc最长。
该命题得证。
要证明你所说的结论，可以取任意内接六边形abcdef，l=ab+bc+cd+de+ef+fa=(ab+bc)/2+(bc+cd)/2+(cd+de)/2+(de+ef)/2+(ef+fa)/2+(fa+ab)/2,用上个结论，即当ab=bc=cd=de=ef=fa，也就是说为正六边形时，lmax=6*ab>l=ab+bc+cd+de+ef+fa。即圆内正六边形的周长大于任意内接六边形。
原命题得证。
你所说的问题
解决了。

Answer 2

设圆的半径为r。则圆内接六边形边长为r。圆外切六变形边长为三分之2倍根号三r。
圆周长为2派r。
内接周长为6r。
外切周长为4倍根3r。
所以比为---派：3：2倍根3。
所以