高数求解答 5
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证明：作函数f(x)=(e^x)/x，G(x)=1/x；
则f'(x)=[(x-1)/x²]e^x；G'(x)=-1/x²；
f(x)和G(x)及其导数满足柯西中值定理的所有条件，故存在ξ∈(a，b)使等式：
[f(b)-f(a)]/[G(b)-G(a)]=f'(ξ)/G'(ξ)成立，
即有： [(e^b)/b-(e^a)/a]/[(1/b)-(1/a)]=[(ξ-1)/ξ²]e^ξ]/(-1/ξ²)
即有 (ae^b-be^a)/(b-a)=-(ξ-1)e^ξ
即 (ae^b-be^a)/(b-a)=(1-ξ)e^ξ
则f'(x)=[(x-1)/x²]e^x；G'(x)=-1/x²；
f(x)和G(x)及其导数满足柯西中值定理的所有条件，故存在ξ∈(a，b)使等式：
[f(b)-f(a)]/[G(b)-G(a)]=f'(ξ)/G'(ξ)成立，
即有： [(e^b)/b-(e^a)/a]/[(1/b)-(1/a)]=[(ξ-1)/ξ²]e^ξ]/(-1/ξ²)
即有 (ae^b-be^a)/(b-a)=-(ξ-1)e^ξ
即 (ae^b-be^a)/(b-a)=(1-ξ)e^ξ
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