Question

已知函数f(x)=|x-1|+|x-m|，若不等式f(x)>=2m-1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围

已知函数f(x)=|x-1|+|x-m|，若不等式f(x)>=2m-1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围，请写清楚过程及依据；f(x)=|x-1|+|x-m|>=|m-1|是怎么推出来的，依据不等式的那条性质？

Answer 1

根据三角不等式 |a|＋|b| ≥ |a＋b| 得
|x-1|＋|x-m|＝|1-x|＋|x-m|
≥ |(1-x)＋(x-m)|＝|1-m|，
所以，要使 f(x) ≥ 2m-1 恒成立，
只需 f(x) 最小值不小于 2m-1，
也即 |1-m| ≥ 2m - 1，
① 1-m＜0 即 m＞1 时，m-1≥2m-1，
无解；
② 1-m≥0 即 m≤1 时，1-m≥2m-1，
解得 m≤2/3；
综上，m 取值范围是 (-∞，2/3] 。

Answer 2

绝对值不等式。| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|
| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
证明方法可利用向量，把a、b 看作向量，利用三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。