Question

函数求极限

如图，答案为e^1/2，不知道哪里做错了
PS：我知道正确答案的做法，只是不知道我这个做法哪里错了

Answer 1

错在第一个式子的极限是eΛ(-1/2)，而不是1，具体算法跟你解这个题的方法一样。就你解题方法整体而言，不提倡你这样做，你可以把1/x换成t,然后构造。

追问

x趋向于无穷，cos(1/x)极限不是1么？然后1^x2还是1。这样做哪里不对？麻烦解释详细一些

追答

我是这样想的，cos(1/x)和x^2是一个整体函数。你不能把它们拆开求极限，即不能先求cos(1/χ)的极限。你想，当x→∝的时候，x^2也在趋于∝，那你怎么能够不管x^2而只求cos(1/χ)的极限呢？

这个本质上就是1^∝情形的极限，你用你开始的方法就能计算得到。

追问

我是先求cos(1/x)极限再求cos(1/x)^x^2的极限。按照复合函数求极限的方法，x→a时，f[g(x)]不就是先求g(x)的极限再把g(x)的极限代入f(x)求么？

追答

换元后x也要换，x已不在是之前的x

况且并不能直接带入，因为它反映的是一种趋向，而不是其函数值

Answer 2

设t=1/x趋于0，ln[(sint)^2+cost]/t^2
趋于1/[(sint)^2+cost]*(2sintcost-sint)/(2t)
趋于(2cost-1)/2
趋于1/2，
所以原式趋于[(sint)^2+cost]^(1/t^2)
趋于e^{ln[(sint)^2+cost]/t^2}
趋于e^(1/2).

追问

谢谢，我知道正确答案的做法，只是不明白我写的答案哪里错了，不然下次还会犯这样的错误

追答

ln(cosu)/u^2趋于1/(cosu)*(-sinu)/(2u)趋于-1/2，
所以[cos(1/x)]^(x^2)
=(cosu)^(1/u^2)
=e^[ln(cosu)/u^2]
趋于e^(-1/2),不为1.

追问

谢谢，明白了

追答

别客气！

Answer 3

y=1/x

y->0

cosy = 1- (1/2)y^2 +o(y^2)

(siny)^2 =y^2 +o(y^2)

(siny)^2 + cosy = 1 +(1/2)y^2 +o(y^2)

lim(x->+∞) [ (sin(1/x))^2 +cos(1/x) ]^(x^2)

=lim(y->0) [ (siny)^2 +cosy ]^(1/y^2)

=lim(y->0) [ 1 +(1/2)y^2]^(1/y^2)

=e^(1/2)

追问

x趋向于无穷时，cos(1/x)的极限不应该是cos0=1么？为什么是1-1/2(1/x^2)呢

追答

那是等价无穷小
y->0
cosy = 1-(1/2)y^2 +o(y^2)
x->∞
cos(1/x) =1 -(1/2)(1/x)^2 +o(1/x^2)

Answer 4

追问

你的方法我看懂了，但是还是不明白我的方法哪里错了。有人说说x→∞时，[cos(1/x)]^x^2不等于1，但按我的理解，x→∞时，cos1/x=1，1^x^2即1的无穷次方，还是1

追答

我觉得也是1，目前我也不知道哪里错了

追问

还是谢谢

追答

这个还是要用第二重要极限，，下边这个图像也可以看出来，这个极限是等于e的负二分之一次方的

最后一步写错了，是e的负二分之一次方。😅️

追问

费心了，谢谢。明白了。你这个软件挺好用的😎

Answer 5

lim(x→∞) (cos(1/x))^x²
=e^｛lim(x→∞) ln[cos(1/x)]/(1/x²)}
利用洛必达法则得
=e^｛lim(x→∞) [tan(1/x) /x²]/(-2/x³)}
=e^｛lim(x→∞) [tan(1/x) ]/(-2/x)}
再次利用洛必达法则
=e^｛lim(x→∞) [sec²(1/x)(-1/x²) ]/[-2(-1/x²)]}
=e^｛lim(x→∞) [sec²(1/x)]/(-2)}
=e^(-1/2)