Question

寻大神们求解一道高数极限题！！

试了两种方法没求出来。。。

Answer 1

太复杂了，不知道计算有没有错误。

追问

大神就是大神，我用完e^x－1~x 这个等价无穷小之后就不知道该怎么办了 感觉越洛越复杂

我好像看到你有一个步骤是通分
直接把(a^t+b^t)算成2乘以分母？直接4t
能不能这样做啊

Answer 2

分享一种解法，应用等价无穷小量替换求解。
∵t→0时，e^t=1+t+t²/2+O(t²)，ln(1+t)=t-t²/2+O(t²)，∴e^t~1+t+t²/2，ln(1+t)~t-t²/2。
本题中，令t=1/x，∴a^(1/x)=a^t=e^(tlna)~1+tlna+(tlna)²/2。同理，b^(1/x)~1+tlnb+(tlnb)²/2。
∴[a^(1/x)+b^(1/x)]/2~1+(t/2)ln(ab)+(t²/4)(ln²a+ln²b)。∴{[a^(1/x)+b^(1/x)]/2}^x~e^{(1/t)ln[1+(t/2)ln(ab)+(t²/4)(ln²a+ln²b)]}=[√(ab)]e^[(ln²a+ln²b)t/4]~[√(ab)][1+(ln²a+ln²b)t/4]。
∴原式=(1/4)(ln²a+ln²b)。
供参考。

追问

你这用的是麦克劳林展开式么，大佬

你这写的我看懂了
但是你没有写完，你只写了一小部分，外面还有减√ab呢？还有大括号外面的x呢？
而且你这一部分的做法太复杂了，没必要，你写的直接可以用取对数的方法求出来，根本不要这么复杂

你求的那一部分的答案是√ab
所以说你求的也是错误的

我想知道的是整体怎么算?而不是你那写的一小部分

有兴趣的话我俩可以加qq一起探讨，如果你觉得这一题太简单，那就算了

追答

有兴趣，但现在不用QQ啦。是整体计算的，只是前述过程是分步骤、分列而已。

追问

那加个微信呗

私聊你了

追答

发私信，告诉微信信息吧。