Question

一道微分方程，求解答啊

Answer 1

解:设f(x)=y，则原方程化为y'+y/(2x)=1 再设u(x)，有uy'+(u/2x)y=u，且 u'=u/2x，则du/u=dx/(2x)，得: ln|u|=ln|√x|+c(c为任意常数) 可有u=√x ∴有(√x)y'+y/(2√x)=√x， (y√x)'=√x，y√x=2x√x/3+a (a为任意常数) ∴方程的通解为 f(x)=2x/3+a/√x
∵f(1)=1 ∴a=1/3，方程的特解为
f(x)=2x/3+1/(3√x)

Answer 2

先求线性通解
y'+y/2x=0
2y'/y=－1/x
2lny=－lnx+lnC
y²=C/x
y=C/√x
再令y=C(x)/√x
C'(x)/√x=1得C(x)=(2/3)x^(3/2)+C
即f(x)=(2/3)x+C/√x
由初始条件得C=1/3