Question

高等数学的拉格朗日乘数法？

试使用拉格朗日乘数法求一个单位向量,使得其与向量(1,2,3)的内积最大或最小,并使用自己的语言进行解释

Answer 1

设单位向量E(x,y,z)，满足x^2+y^2+z^2=1
内积F(x,y,z)=向量E*向量(1,2,3)=x+2y+3z，求F(x,y,z)的条件最值
令L(x,y,z,t)=x+2y+3z+t*(x^2+y^2+z^2-1)
Lx'=1+2tx=0，Ly'=2+2ty=0，Lz'=3+2tz=0，Lt'=x^2+y^2+z^2-1=0
四式联立，得：x=-√14/14，y=-√14/7，z=-3√14/14，t=±√14/2
所以极值点(-√14/14,-√14/7,-3√14/14)和(√14/14,√14/7,3√14/14)
此时，F(-√14/14,-√14/7,-3√14/14)=-√14是最小值
F(√14/14,√14/7,3√14/14)=√14是最大值