Question

线性代数向量空间维数求解

如图第四题的维数为什么是2

Answer 1

维数是2。

线性齐次方程组有3个未知量，只有一个方程，所以其基础解系有2个向量，所以V的维数是2。

方程写作3x=-2y-5z，令y=-3，z=0，得x=2，所以（2，-3，0）^T是方程的一个解。令y=0，z=-3，得x=5，所以（5，0，-3）^T是方程的另一个解。两个解线性无关，所以（2，-3，0）^T，（5，0，-3）^T是方程的基础解系，也是向量空间V的基。

重要定理：

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

Answer 2

向量空间的维数＝向量组的秩。因向量Ⅹ3＝X1＋X2，X3由X1与Ⅹ2线性表出，所以线性无关向量只2个，向量组的秩r＝2，向量空间的维数＝2。

在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

扩展资料：

向量空间亦称线性空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1、在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2、在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

Answer 3

向量空间的维数＝构建空间的向量组的秩。因为向量Ⅹ₃＝X₁＋X₂，即X₃ 可由X₁ 与Ⅹ₂ 线性表出，所以线性无关向量只2个，向量组的秩r＝2，向量空间的维数r＝2。

解释上图:  因Ⅴ₁ 与V₂ 是二个线性无关的向量，它们构成向量空间是二维的，斜平面上所有向量集合均可由V₁ 与Ⅴ₂ 线性组合得到。但Ⅴ₁ (或Ⅴ₂) 本身有三个坐标 (X₁，X₂，X₃ ) → 这是相对于自然基的坐标，因此V₁ (或V₂) 是三维向量。∴向量空间的维数 ≤ 向量的维数。

Answer 4

因为该空间中的任意一个向量都可以表示成（1,0,1）和（0,1,1）的线性组合，即有
（x1,x2,x1+x2）=x1(1,0,1)+x2(0,1,1)
所以向量空间的维数是2.