Question

高数第7题，求级数收敛域。两个小问题？

1.是因为n*4^n等价于4^n，所以得1/4？
2.1/4倒数是4，那么半径R不应该是4吗？





Answer 1

问题1，ρ=lim(n→∞)丨an丨^(1/n)=lim(n→∞)1/[n*4^n)]^(1/n)=(1/4)lim(n→∞)1/n^(1/n)=1/4，非等价处理而得结果。
问题2，R=1/ρ是对幂级数“∑(an)x^n”之收敛半径R，而非“∑(an)x^(αn)”的收敛半径R。本题中换元后，级数为“∑(an) t^(αn)”其中α=2。相当于收敛区间为“0<x^α<4”，即“ 0<x²<4”。再讨论端点值，确定收敛域。
供参考。

Answer 2

1/4是根值审敛法得到的，不是你说的等价。
r=2是因为x的幂为2n，需要4开根号

追问

1.an=1/n*4^n，开根号怎么得到1/4？
2.幂级数的R:

rou=1/4，R=1／rou=1/1/4=4？

追答

学到级数了，肯定会求极限吧。（n•4^n）^1/n = n^1/n • 4 = 4。

追问

谢谢你了😊

Answer 3