Question

求(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^10展开式中x^3的系数

Answer 1

(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^10=（1+x）[1-(1+x)^10]/(1-(1+x))=-（1+x）[1-(1+x)^10]/x
展开式中x^3的系数
即分子中x^4的系数
也就是
(1+x)^10的3次方的系数+4次方的系数（两个负号抵消了）
排列组合
c10
3
+
c10
4
=10*9*8/(3*2*1)+10*9*8*7/(4*3*2*1)=120+210=330

Answer 2

首项=公比=x+1的等比数列求和S=（x+1)[（x+1)^10-1]/[(x+1)-1]=[(x+1)^11-x-1]/x=[(x+1)^11/x]+1+(1/x)，所求为(x+1)^11/x中x^4的项。C(4/11)(x^4)/x=（11x10x9x8)x
^3/(4x3x2x1)=(11x3x10)x3=330x^3。系数330。