Question

如图，一直PA垂直矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC终点，求证MN垂直CD.

Answer 1

取PB的中点E，连接ME
∵M,N，E分别是AB,PC,PB的中点
∴EM∥PA,EN∥BC
又∵PA⊥平面ABCD
所以EM⊥平面ABCD
∵CD属于平面ABCD
∴EM⊥CD
∵ABCD是矩形∴CD⊥BC则CD⊥EN
∵EN∩EM=E∴CD⊥平面EMN
∴MN垂直CD

Answer 2

证明：连接PB，NA，NB
PA⊥ABCD
，AB是PB在ABCD的射影
CB⊥AB
==>
CB⊥PB
△PBC是直角△
N是PC中点
BN
=PC/2
同理
AN=PC/2
所以△ANB是等腰三角形
因为M是AB中点
所以
MN⊥AB
所以AB//CD
所以MN⊥CD

Answer 3

取CD中点E.连接NE，ME
因为PA垂直ABCD所以PA垂直CD。又ABCD为矩形所以AD垂直CD。所以CD垂直于平面PAD。
所以CD垂直PD。因为N为PC中点且E为CD中点所以NE平行于PD。所以CD垂直于NE。
又因为M是AB中点,N为CD中点所以ME平行于BC。因为是矩形ABCD所以CD垂直于BC。因为ME平行于BC所以CD垂直于ME。又前面已经得到CD垂直于NE所以CD垂直于平面MNE。所以CD垂直于MN