Question

设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2(an+1/an) （1）求an的通项公式

Answer 1

尝试取值猜测，取n=1，s1=1/2a1+1/2a1
->
a1=1/2(a1)+1/2(a1)
->
(a1)²=1
因为{an}为正数列，所以a1=1
s2=a1+a2=1+a2=1/2（(a2)+1/(a2)）->
解方程
得
a2=±√2-1
->
因为{an}为正数列，所以a2=√2-1
s3=1+√2-1+a3=√2+a3=1/2（(a3)+1/(a3)）->
解方程并根据{an}为正数列，得到a3=√3-√2
同理，得到a4=√4-√3
所以猜测
an=√n-√(n-1)，若an=√n-√(n-1)，有如下各项
an=√n-√(n-1)
a(n-1)=√(n-1)-√(n-2)
a(n-2)=√(n-2)-√(n-3)
：
：
a2=√2-√1
a1=√1-√0
将各项相加，每一项都会被前一项的被减数和后一项的减数消掉。最后留下√n-√0=√n
所以如果存在an=√n-√(n-1)，那么必定有sn=√n
使用数学归纳法，猜测an的通项公式为an=√n-√(n-1)。
取n=1，a1=√1-√(1-1)=1-0=1；s1=√n=√1=1
a1=s1，所以当n=1时，an=√n-√(n-1)成立。
假设n=k时，ak=√k-√(k-1)成立，那么根据条件，此时sk=√k也成立。
令n=k+1，s(k+1)=sk+a(k+1)=√k+a(k+1)
……①式
另一方面，根据条件，得到s(k+1)=1/2（a(k+1)+1/a(k+1)）……②式
通过①②式联立方程，解方程，得到a(k+1)=±√(k+1)-√k
因为{an}为正数列，舍去-√(k+1)-√k。因为√(k+1)-√k>0，所以a(k+1)=√(k+1)-√k
当n=k+1时，an=√n-√(n-1)也成立。
综上，an的通项公式为an=√n-√(n-1)。

Answer 2

【解法一】
Sn=1/2(an+1/an)
S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
Sn-S(n-1)=an
上面两式相乘得：
Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1
{Sn^2}是首项为S1^2=1,公差为1的等差数列
Sn^2=n
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
【解法二】
两边同乘2an
2anSn=an²+1
2（Sn-Sn-1）Sn=（Sn-Sn-1）²+1
（Sn-Sn-1）【2Sn-（Sn-Sn-1）】=1
Sn²-Sn-1²=1
a1=Sn=1
Sn²=n
an=Sn-Sn-1=√n-√（n-1)
【解法三】数学归纳法
(1)S[1]=a[1]=1/2(a[1]+1/a[1]),于是：a[1]=1=√1-√0
S[2]=a[2]+1=1/2(a[2]+1/a[2]),于是：a[2]=√2-1,S[2]=√2
S[3]=a[3]+√2=1/2(a[3]+1/a[3]),于是：a[3]=√3-√2,S[3]=√3
S[4]=a[4]+√3=1/2(a[4]+1/a[4]),于是：a[4]=√4-√3
于是可以猜想：a[n]=√n-√(n-1);
(2)显然：n=1时成立，假设n=k时，a[k]=√k-√(k-1)，S[k]=√k
n=k+1时，S[k+1]=a[k+1]+S[k]=a[k+1]+√k=1/2(a[k+1]+1/a[k+1]),
于是：a[k+1]=√(k+1)-√k
即：n=k+1时也成立
综上：a[n]=√n-√(n-1)对于n∈N成立.