Question

有没有数学大神解答一下无穷级数里的收敛？

一直对收敛都不是很理解，不明白，为什么定义是极限趋近于常数，说明无穷级数是收敛的，但为什么后面的性质又出来一个必要条件：若无穷级数收敛，则极限趋近于零。我就混乱了，所以到底怎样才算收敛？就像这个题，就算加上0.01也是趋近于一个常数啊，为什么说他不趋近于零所以是发散呢？？有没有大神详细说一下这个收敛到底应该是趋近于常数啊？还是零啊？

Answer 1

定义无穷级数(注意：此处无穷级数是指所有项之和，带∑的)的极限等于一个确定常数，那么显然，级数是收敛的！
如果一个级数收敛，那么他的通项an的极限肯定是0,注意，此时说的是通项an.也很好理解，如果不为0，比如说c, n项和∑,加起来不就成了nc.
n趋向∞时，nc成为∞。就不再收敛了。
上面这个，就是c为0.01.
所以，你要区分级数与数列通项
级数是∑an
an是数列通项
级数收敛，则liman=0
lim∑an=c, 则级数收敛！

追问

那也就是不是说：如果我记算出当n趋于零时，limSn趋近于一个常数就说明这个极数是收敛的？然后极数收敛就确定一般项an极限是趋近于零的？那我一般做题的时候是不是只需要判断整体是否趋近于常数就可以了？还需要看一般项an趋近于零吗？什么时候才需要考虑这个一般项趋近于零呢？

😂我可能还是有点懵，一时比较混乱，脑子还没有理过来

追答

那也就是不是说：如果我记算出当n趋于零时，limSn趋近于一个常数就说明这个极数是收敛的？
正确！

然后极数收敛就确定一般项an极限是趋近于零的？
正确！

那我一般做题的时候是不是只需要判断整体是否趋近于常数就可以了？
可以

还需要看一般项an趋近于零吗？什么时候才需要考虑这个一般项趋近于零呢？
这个问题非常好，因为有些limSn你是求不出来的，所以判断liman就是个好方法。只要他不为0, 就可以毫不犹豫判断级数发散。

后面的正项级数判敛，用的就是考察an的一些性质…

追问

谢谢大神

追答

客气，请采纳！