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方程组有解的等价条件。方程组有解,等价于增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相同,即r{α1,α2,α3,α4}=r{α1,α2,α3,α4,β}。
β可以用{α1,α2,α3,α4}线性表示。①中的等式前后比较一下可知,向量组中加入了β,原向量组的秩没有改变,所以β可以用{α1,α2,α3,α4}线性表示。
引入α1+β。因为β可以用{α1,α2,α3,α4}线性表示,所以α1+β当然也可以用{α1,α2,α3,α4}线性表示。因此可以将α1+β引入向量组{α1,α2,α3,α4}和{α1,α2,α3,α4,β},不改变原向量组的秩。
秩为3。因为原方程组的通解中的任意常数只有一个k,所以自由未知量只有一个,真未知量有三个,即增广矩阵的阶梯头个数为3,因此r{α1,α2,α3,α4}=r{α1,α2,α3,α4,β}=3。
结合以上分析,就可以得到等式r{α1+β,α1,α2,α3,α4}=r{α1+β,α1,α2,α3,α4,β}=r{α1,α2,α3,α4}=3。
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